Illustration : Evaluate Lim x→0 (1+x)^1/x-e/x

$$\begin{gathered} \mathrm{We} \mathrm{have}, \\ \underset{\mathrm{x}\to 0}{Lim}\frac{{(1+\mathrm{x})}^{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{x}$}\right.}}-\mathrm{e}}{\mathrm{x}} \\ \mathrm{Clearly},\mathrm{this} \mathrm{limit} \mathrm{is} \mathrm{of} \mathrm{from} \frac{0}{0} \\ \mathrm{L}`\mathrm{Hospital} \mathrm{rule}(\mathrm{easier} \mathrm{to} \mathrm{comprehense} \mathrm{as} \mathrm{this} \mathrm{is} \mathrm{a} \frac{0}{0} \mathrm{limit},\mathrm{we} \mathrm{can} \mathrm{use} \mathrm{L}`\mathrm{hospital} \mathrm{rule}) \\ \Rightarrow \mathrm{using} \mathrm{L}`\mathrm{Hospital} \mathrm{rule} 2 \mathrm{times}(\mathrm{till} \mathrm{we} \mathrm{get} \mathrm{a} \mathrm{line} \mathrm{expression} \mathrm{in} \mathrm{both} \mathrm{numerator} \mathrm{and} \mathrm{denominator}) \\ \mathrm{We} \mathrm{get}: \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{Lim}\frac{{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(1+\mathrm{x})$}\right.}-{\displaystyle \raisebox{1ex}{$\mathrm{x}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(1+{\mathrm{x}}^2)$}\right.}-{\displaystyle \raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$(1+\mathrm{x})$}\right.}}{2\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \underset{\mathrm{x}\to 0}{Lim}\frac{-1}{2{\left(1+\mathrm{x}\right)}^2}=\frac{-1}{2} \\ \Rightarrow \mathrm{Limit}=\frac{-1}{2}\mathrm{e} \end{gathered}$$